المعادلات المثلثية

بســم اللـــه الرحمـــن الرحيـــــم

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

المعادلات المثلثية

نقول عن معادلة أنها معادلة مثلثية إذا كانت تحوي في أحد طرفيها على نسبة مثلثية واحدة أو أكثر

وتنقسم المعادلات المثلثية إلى عدة أنواع

1) معادلات النوع الأول البسيطة ( وهي التي تحوي نسبة مثلثية واحدة فقط )

2) معادلات النوع الثاني ( وهي التي تحوي على نسبتين مختلفتين أو أكثر

3) معادلات النوع الثالث ( وهي كل معادله لا تندرج تحت سقف النوع الأول أو الثاني )

سنقوم بعون الله وتوفيقه بتوضيح النوع الأول والثاني بإسهاب ونأمل أن تكون المشاركات والاستفسارات

ضمن ما يرد وبالترتيب وكلنا أمل أن يكون هذا الموضوع نواة لتغطية المعادلات المثلثية وبمشاركة كافة الأعضاء

على بركة الله نبدأ
1) معادلات النوع الأول البسيطة ( وهي التي تحوي نسبة مثلثية واحدة فقط )

وهنا نذكر بحلول بعض المعادلات الشهيرة

حا س = 0 ـ س = ك × p أيضا جا س = 1 ـ س = p /2 + ك × 2 p أيضا حاس = -1 ـ س = - p /2 + ك × 2 p

حتا س = 0 ـ س = p /2 + ك × p أيضا جتا س=1 ـ س = ك × 2 p أيضا جتا س = -1 ـ س = p + ك × 2 p


ظا س = 0 ـ حاس = 0 ـذكر سابقا

ظاس = 1 ـ س = p /4 + ك × p

ظا س = - 1 ـ س = 3 p /4 + ك p

وبالمقابل طتا س = 1/ ظا س

وكل معادلة تحوي طتا يمكن تحويلها إلى ظا س بالعلاقة السابقة

ظتا س = 0 ـ جتا س = 0 وقد تم ذكره

ظتا س = ± 1 ـ س = ± p /4 + ك p

ويحل هذا النوع من المعادلات المثلثية إما مباشرة أو بردها إلى معادلة جبرية بسيطة

دائما سنفرض أن


ك ' ص ( مجموعة الأعداد الصحيحة )

ونقصد بالرمز ( ك × 2 p ) عدد صحيح من الدورات

مثال1:
2 حتا س = 1 الحل :
ـ جتا س = ½ ـ جتا س = جتا p /3 ـ س = ± p /3 + ك × 2 p وواضح أن للمعادلة حلان

أو يكون الحل بشكل جبري 2 جتا س = 1 نفرض أن حتا س = ص ونعوض فنجد

2 ص = 1 ـ ص = ½ ـجتا س = ½ ونتمم مثل ما سبق

مثال2 :

حل المعادلة المثلثية :


جا² س - جا س - 2 = 0

نفرض جا س = ص فتصبح المعادلة ( ص² - ص - 2 = 0 )

وبالتحليل المباشر ترد ( ص - 2 ) ( ص + 1 ) = 0

إما ص = 2 ـ جا س = 2 وهذا مرفوض لأن جا س ' [ - 1 ، + 1 ]

أو ص= - 1 ـ حا س = -1 ـ س = - p /2 + ك × 2 p

مثال3 : 2 حا ² س - 1 = 0

حا س = ± 1 / /\ 2 ـ س = ± p /4 + ك × 2 p ، س = p ± p /4 + ك × 2 p

نأمل أن نكون قدمنا ما هو مفيد ويليه إن شاء الله معادلات النوع الثاني

التحية للجميع